Пространство Эйнштейна-Миньковского

 

 

       

Точку в системе вектор можно построить проще  с помощью ломаной линии координат точки. При этом 4-ю координату моделировать как первый вектор материальной точки

Метод: Ngpoint.ssss A, v1,N1, v2,N2, v3,N3.

Идея использовать вектор материальной точки был реализован П.В.Филипповым в его монографии Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. 1979. В ней показаны  все возможные построения различных многомерных образов, вплоть до 6-мерных, решения метрических задач и приложений данной геометрии в самых различных областях, в частности, в линейном программировании.   Отсутствие  тогда вычислительной техники не позволило  надлежащим образом реализовать данный подход, однако сейчас это стало возможно, причем можно на основе приведенного метода можно автоматически создавать образы вплоть до 6-мерного пространства.  

                    

Точка 4D на комплексном  чертеже 3D

 

Метод: Ngpoint.ssss A, v1,N1, v2,N2, v3,N3

 

Set O = p(0,0,0)

Set N1 = p(1,5,1)

Set N2 = p(0,0,0) ' в данном случае не используется

Set N3 = p(0,0,0) ' в данном случае не используется

v1=2 ' - скаляр 1-й силы

v2=0 ' - скаляр 2-й силы не используется

v3=0 ' - скаляр 2-й силы не используется

Set E = p(-0.5,0.8,0.5) ' вектор оси Ot евклидового пространства

te = 2.5  ' 4-я координата скаляр

set A = p(2,3.5,2)

       Set K = p(A.x+E.x*te,A.y+E.y*te,A.z+E.z*te)

       Ngpoint.ssss A, v1,N1, v2,N2, v3,N3

       Width=120

       Ngpoint.ss K

       Width=120

Otrezok.ss O,p(E.x*8,E.y*8,E.z*8)

Otrezok.ss A,K

Otrezok.ss O,p(0,0,A.z)

Otrezok.ss p(0,0,A.z),p(A.x,0,A.z) 

Otrezok.ss p(A.x,0,A.z),p(A.x,A.y,A.z) 

 

Однако нам важно два оставшихся вектора использовать для задания силовых векторов в 4-мерном пространстве, например, Эйнштейна-Минковского (Э-М).

    

Четыре отрезка ломаной параллельны соответственно  осям 4-мерной системы координат.

Сначала решим некоторые задачи, которые будут полезны для понимания  пространства Э-М (Эйнштейна-Минковского).

Отрезок  О-А – вектор точки А  в 4-мерном пространстве.

Вычислим модуль вектора:  

S = sqr (x*x+y*y+z*z+t*t)

Длину изображаемого вектора (отрезка) можно определить в диалоге

Длина линии = 5.72124 

Резюме. Как видим, метрические свойства  вычислительно и изобразительного характера не выполняются. Изображаем, а вот вычисления, выполняем по правилам  4-мерной аналитической геометрии и векторного исчисления. Конечно по правилам начертательной геометрии можно определить натуральную величину отрезка на комплексном чертеже 4-мерного пространства,  но это реализовать в системе Вектор сложнее, и в принципе не зачем.

Упражнение 2. Определить расстояние между двумя точками А-В в пространстве Э-М

 

                     

 

Расположение осей x,y,z,t и отрезка АВ в пространстве Э-М
заданы в диалоге с использованием команды ArcBall.

 

Длина (фактически искаженного) отрезка в диалоге = 3.65433

 

Упражнение 3. Задать окружность (другую любую линию) в 4-мерном пространстве, если известно, что ее каждая точка из 3D сдвигается в 4-мерное пространство на заданное расстояние.

Решение. Сначала вычисляя точки на заданной линии, сдвигаем их по оси t и помещаем в массив, затем в другом цикле по этим точка задаем новую полилинию – окружность. Аналогично строим любую линию.

 

         

 

For s  = 0 To 1.01 step 1./st

CurrObjNmb = n11

Set A = Polyline.P (s)

Width=40

SetColor 0,0,255

       Set K = p(A.x+E.x*te,A.y+E.y*te,A.z+E.z*te)

       xr(n) = K.x

       yr(n) = K.y

       zr(n) = K.z

       Ngpoint.ssss K, v1,N1, v2,N2, v3,N3

       Width=40

n = n+1

next

 

На новой линии можно формировать поверхности вращения, которая буде двумерной 4–мерном пространстве (каждая ее точка будет функцией от x,y,z,t)

.      

 

Повернув ось t  (вместе  с новой линией) до вертикального положения, поверхность вращения будет получаться вокруг оси Ot.

 

Формирование поверхностей в 4D

 

Возможны разные варианты. Например сдвинуть формообразующие и по ним строить поверхность, как например поверхность вращения в примере выше. Можно сдвигать все ее точки – получим в этом случае точечный каркас или каркас из линий по которым можно построить полиповерхность.

Пример. Задать лодку К-9 в 4-мерном пространстве.  

     

 

Аналогично решаются другие задачи аналитического и векторного планов.   

 

Электро-магнитные силы Лоренца в 4D

 

Эйнштейн  утверждал что в понимании единого поля земли должна быть простота и только простота, причем никаких постоянных величин. Близок к этом векторный подход, когда все силы, возникающие в пространстве могут быть представлены виде векторных полей и их результирующей. Считается что электромагнитные силы Лоренца пронизывают наше пространство. С другой стороны наше пространство подчиняется силам всемирного тяготения и скоростям близких к скорости света в пространственно-временном континууме, которые и тянут нас в неизвестность. Здесь же присутствуют силы Кориолиса, вращения и кручения. Чтобы все учесть и придать этому единое математические звучание, ученым приходится постоянно расширять пространство. И естественно, где-то идет перебор. Например, чтобы, использовать силы Кориолиса, необязательно использовать векторный подход – достаточно дать объекту поступательное и вращательное движение.

Однако для начала разберем силы Лоренца в 4D. Здесь без векторов и силовых электромагнитных полей, не обойтись.

Для начала заметим, что в 4-мерном пространстве две плоскости в общем случае пересекаются в точке. На разнесенном комплексном чертеже 4D отрезок прямой, плоскость (угол между двумя отрезками) дважды параллельные, например, оси х, проецируется на третью координатную плоскость (включающую ось х) в натуральную величину.

Из точки плоскости (как и к плоскости) можно построить два перпендикуляра. Это можно проследить на изображении осей, которые мы считаем перпендикулярными между собой. Ось Оt перпендикулярна координатным плоскостям Oxy и Oxz

 

Из этих понятий можно моделировать вектора 4-мерного пространства. Естественно есть развитая теория векторных полей (тензоров) в математике. Однако нас интересует автоматическая визуализация таких полей в системе Вектор, расчет и визуализация результирующих полей и т.д.

Cила Лоренца электрического поля

Определяется как векторное произведение двух векторов: вектора скорости (материальная точка, скалярная величина и направление)  и вектора магнитной индукции (также материальная точка, скалярная величина и направление).

Взаимное расположение векторов          

 

Модуль силы Лоренца численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах V  и  B помноженной на заряд q.

Итак, вектор силы Лоренца определяется как векторное произведение двух векторов: вектора скорости (материальная точка, скалярная величина и направление)  и вектора магнитной индукции (также материальная точка, скалярная величина и направление).

Не обращая внимание на вычисления, требуется смоделировать  электрическое поле в 4D. Причем берем простой случай что заряд 4-мерный, а вектора  скорости и магнитной индукции одномерные. Другое дело (в системе Вектор автоматически строится), что плоскости  в 4D можно построить два вектора один в пространстве xyz (с этими координатами точек), и второй, например в xyt. Результируюший  будет искомым  вектором, определяющим  силу Лоренца в 4D.   Модуль силы Лоренца будет численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах результирующих векторах R1 и R2  помноженной на заряд q.

Сила Лоренца F со стороны электрического (E)  и магнитного (B)  полей

Сила Лоренца F действующая на заряженную частицу (заряда q) при движении (со скоростью v) выражается:

\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+[\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\right),

где × векторное произведение. Все величины выделенные жирным являются векторами. E поле и B поле меняются в пространстве и во времени.

Более явно:

\mathbf{F}(\mathbf{r},t,q) =  q \mathbf{E}(\mathbf{r},t) + q \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t) ,

где r — радиус-вектор заряженной частицы, t — время, точкой обозначена производная по времени.

Пример.

Поле сил (двух векторов)  действующее на лодку в 4D,
R – общая результирующая сила

Наклонные отрезки вперед лодки - поле результирующих сил, 
действующих на лодку в 4D

 

 

Лодка в оболочке 3D сил Лоренца

 

 

Лодка в гиперлоренцовым потоке сил,
 действующих на корпус и крылья

 

Единая теория поля

...Распалась связь времен.
Зачем же я связать ее рожден?

Шекспир. "Гамлет"

 

В мировоззрении Эйнштейна идеалом гармонии был единый мир, в котором происходит взаимное, относительное движение действующих друг на друга тел. "Связь времен"им  была восстановлена. Но первоначально она была восстановлена только для инерционного движения. В результате величайшего интеллектуального напряжения Эйнштейну удалось устранить из картины мира абсолютные ускоренные движения. Но дальше пойти не удалось.

 В науке сохранилось чуждое идеальной гармонии мира различие между электромагнитными и гравитационными полями. Механика Эйнштейна исходят из непрерывного движения частиц, положения и скорости которых определены начальными условиями и взаимодействиями между собой.

Эйнштейн не сомневался, что гармония бытия может быть выражена в точных геометрических соотношениях. И здесь у Эйнштейна появлялось ощущение величайшей трудности определения указанных соотношений. Для Эйнштейна теория но имела права называться физической, если она по включала физической идеи, допускающей сопоставление с наблюдениями. Эйнштейн думал, что единая теория поля позволит вывести квантово-статистические закономерности микромира из нестатистических (управляющих не вероятностями, а самими фактами), более глубоких и общих закономерностей бытия. Эйнштейн признает, что единая теория поля еще не может быть проверена, так как математические трудности не позволяют придать ей вид, допускающий однозначную оценку.

"Я работаю, - писал Эйнштейн в 1938 г., - над чрезвычайно интересной теорией, которая, надеюсь, поможет преодолеть современную мистику вероятности и отход от понятия реальности в физике..."

Эйнштейн выдвинул в качестве интуитивной догадки утверждение, что в идеальной картине мира не может быть произвольных постоянных.

Скорость света, выраженная в сантиметрах, деленных на секунды, связана с этими произвольными единицами. Мы можем, по словам Эйнштейна, заменить секунду временем, в течение которого свет проходит единицу длины, а в качестве такой единицы взять вместо сантиметра, например, радиус электрона. Можно заменить грамм в качестве единицы массы массой электрона или другой частицы. Вообще можно полностью исключить из физики постоянные, выраженные в сантиметрах, граммах и секундах, целиком и полностью заменив их "естественными" единицами.

"Если представить себе это выполненным, то в основные уравнения физики будут входить только лишь "безразмерные" постоянные. Относительно этих последних мне бы хотелось высказать одно предложение, которое нельзя обосновать пока ни на чем другом, кроме веры в простоту и понятность природы. Предложение это следующее: таких произвольных постоянных не существует. Иначе говоря, природа устроена так, что ее законы в большей мере определяются уже чисто логическими требованиями настолько, что в выражения этих законов входят только постоянные, допускающие теоретическое определение (т.е. такие постоянные, что их численные значения нельзя менять, не разрушая теории)".

Вопрос состоит в том, приводит ли критерий логической простоты к однозначной картине мира? Могут ли существовать две в равной степени логически простые схемы, физически отличающиеся одна от другой? По-видимому, Эйнштейн склонялся к тому, что "бог не мог составить мир другим", что требование логической простоты определяет физическую картину мира однозначным образом. Приближаясь к объективной истине и приобретая все большую логическую простоту (за счет исключения эмпирических постоянных, не связанных логическим выведением и соответственно каузальной связью с другими постоянными), паука переходит ко все более точному описанию действительности. Сменяющие друг друга картины мира образуют сходящийся ряд.

Единая цепь причин - следствий охватывает космос и микромир. Именно благодаря такой связи можно логически вывести один закон из другого, причем в единую цепь входят количественные законы природы и константы.

Каузальное* (причинное) объяснение может задержаться у границ данной теории, но оно не может остановиться, оно рано или поздно перешагнет эти границы.

 

* КАУЗАЛЬНЫЙ (от лат. causa - причина) – причинный. Относится к причинно-следственным отношениям, к выражению этих отношений. Например «Каузальный план» — это мир истины, подлинной реальности.

 

Когда-то Кеплер, один из самых гениальных провозвестников каузального мышления нового времени, задал вопрос: "Почему они такие, а не иные", имея в виду количественные соотношения мироздания - расстояния между планетами Солнечной системы. Ответа на это нельзя было получить, и Кеплер погрузился в мистику чисел. Каузальное мышление, характерное для науки нового времени, достигло своей кульминации в творчестве Эйнштейна.

Теория относительности рассматривает в качестве исходных соотношений сокращение движущихся масштабов и замедление времени в движущихся системах. С точки зрения квантовой теории масштабы и часы - это очень сложные тела.

Можно заметить, что теория вводит (помимо четырехмерного пространства) два рода физических предметов, а именно: 1) масштабы и часы, 2) все остальное, например электро-магнитное поле, материальную точку и т.д. Это в известном смысле не логично; собственно говоря, теорию масштабов и часов следовало бы выводить из решений основных уравнений (учитывая, что эти предметы имеют атомную структуру и движутся), а не считать ее независимой от них" .

Эйнштейн описал объективные процессы с помощью "масштабов" и "часов", т.е. жестких стержней и периодически повторяющихся движений, а также с помощью "наблюдателей", которыми могут быть приборы, регистрирующие показания часов (число оборотов или число отрезков, пройденных телом после некоторого момента) и число уложенных между двумя точками твердых стержней. Устранить подобное понимание термина "поведение масштабов и часов" очень легко. Что действительно трудно (и что не сделано и не могло быть сделано Эйнштейном), - это указать микроскопические процессы, объясняющие соотношения между пространственными и временными измерениями ("поведение масштабов и часов") в движущихся одна относительно другой системах.

Физический смысл применения подобных уравнений состоит в том, что в любой сколь угодно малой пространственной области и в любой сколь угодно малый интервал времени что-то происходит и это что-то подчиняется законам физики, которые выражаются в уравнениях. Иными словами, их смысл состоит в непрерывности физического пространства и времени, в возможности бесконечного дробления пространства и времени, причем пространство (как и время) остается физическим, т.е. его структура определяет характер физических процессов.

Эйнштейн писал: мы не можем сейчас отличить четырехмерную линию как чисто геометрическое понятие от физического понятия реального движения частицы, если не припишем частице какого-то иного бытия помимо пребывания в мировой точке, какого-то иного предиката помимо четырех координат, какого-то иного изменения помимо перехода в следующую мировую точку. Это мысль Эйнштейна в принципе стала краеугольной в дальнейшем движении физики в увеличении размерности пространств.

Принцип Маха, как известно, сводит мироздание к движениям и силовым взаимодействиям тел. Однако в арсенал современных поисков единой теории поля входит не конкретная схема, объединяющая гравитационное и электромагнитное поля, а входит более общая идея: все поля (теперь известно гораздо большее множество различных полей) - это модификации единой субстанции.

Не только теории относительности, не только формул, связывающих координаты тела в одной системе с его координатами в другой системе, распределение масс и средоточий энергии с кривизной пространства-времени, массу покоя с внутренней энергией и

Позитивные результаты сохраняют свою незыблемость, которые неотделимы от сквозной линии, которая превращает науку из "трехмерной" системы в "четырехмерный" процесс.

***

В системе Вектор есть 172 базовых вариантов построения полей (рельефов) для различных конформных и прочих преобразований.

 

 

 

 

 

Причем эти поля можно складывать, а далее вычисляя  на них вектора (нормаль  и два вектора по dudv), получать результирующие силы, действующие на объект (гиперлинию, гиперповерхность, гипертело).

 

         

Диалоговые окна задания  полей-рельефов  и их сложение

 

]

Задавая волнистую поверхность, мы автоматические получаем результирующие силы солитоновой стоячей волны, подобно тому как на поверхности вращения получаем результирующие силы вращения (кручения).  

 

Исходная поверхность

Материальные точки на поверхности

 

Вектора сил (вид с торца на поверхность)

Результирующие вектора сил движения стоячей волны

 

Пример построения результирующего поле сил на поверхности типа «копна»

    

Исходная поверхность и материальные точки на ней

    

Вектора сил и результирующие

 

Поле32 (из 172)

 

Справа результирующее поле сил и общий свободный  вектор

 

 

Оптимальное движение лодки К-9 среди толчее волн перед экватором

 

Действие сил среди толчее волн в 3D

 

 

Поля плоские и пространственные можно моделировать самостоятельно – любая поверхность, смоделированная в системе Вектор может быть принята за поле. Причем образующие для получения поверхностей могут за счет объединения линий выбраны какие угодно.

Задав кривую Безье в первой четверти декартовой системы координат, потом дублировав и объединения получаем  образующую для поверхности вращения.

 

  

 

Справа исходная линия, в центре образующая для поверхности вращения 

 

 

Результирующее силовое поле (вектора-отрезки, исходящие из точек)

Используя образующую дважды (диблировать и отразить влево), можно с помощью линейчатой поверхности задать плоское поле.  За счет сгущения линий кажется пространственным, хотя результирующее становится пространственным. 

 

 

Поле 2D и результирующее на нем уже как 3D

 

Пространственно-временной континуум - это математическая модель, абстракция, с помощью которой люди пытаются описать реальность.
Слово "континуум" указывает на то, что реальность в этой модели обладает свойством непрерывности. Пространство и время - еще два свойства реальности.

В конкретной модели пространственно-временного континуума все эти свойства объединены особым образом.

Существуют разные модели пространства-времени, среди которых условно называемые "пространство-время Аристотеля", "пространство-время Галилея", "пространство-время Ньютона", "пространство-время Минковского", "пространство-время Эйнштейна" и, вероятно, другие. Сейчас общепринятой моделью является пространство-время Эйнштейна.

Пространственно временной континиум - это реальность которая описывается тремя пространственными координатами и одной временной. При этом пространство и время выступают как непрерывная величина (проще говоря бесконечны) и имеют цельную размерность. В квантовой физике пространство и время дискретны т. е. конечны. Там признается самый маленький объем. А размерность вполне может быть и дробной (фрактальной). На роль объединения этих двух теорий претендует теория суперструн.

Тео́рия струн — направление теоретической физики, изучающее динамику и взаимодействия не точечных частиц, а одномерных протяжённых объектов, так называемых квантовых струн. Теория струн сочетает в себе идеи квантовой механики и теории относительности, поэтому на её основе, возможно, будет построена будущая теория квантовой гравитации.

Модель Фейнмана в стандартной модели теории струн

Теория струн основана на гипотезе о том, что все элементарные частицы и их фундаментальные взаимодействия возникают в результате колебаний и взаимодействий ультрамикроскопических квантовых струн на масштабах порядка планковской длины 10−35 м. Данный подход, с одной стороны, позволяет избежать таких трудностей квантовой теории поля, как перенормировка, а с другой стороны, приводит к более глубокому взгляду на структуру материи и пространства-времени. Квантовая теория струн возникла в начале 1970-х годов в результате осмысления формул Габриэле Венециано, связанных со струнными моделями строения адронов. Середина 1980-х и середина 1990-х ознаменовались бурным развитием теории струн, ожидалось, что в ближайшее время на основе теории струн будет сформулирована так называемая «единая теория», или «теория всего», поискам которой Эйнштейн безуспешно посвятил десятилетия. Но, несмотря на математическую строгость и целостность теории, пока не найдены варианты экспериментального подтверждения теории струн. Возникшая для описания адронной физики, но не вполне подошедшая для этого, теория оказалась в своего рода экспериментальном вакууме описания всех взаимодействий.

Одна из основных проблем при попытке описать процедуру редукции струнных теорий из размерности 26 или 10 в низкоэнергетическую физику размерности 4 заключается в большом количестве вариантов компактификаций дополнительных измерений на многообразия Калаби — Яу и на орбифолды, которые, вероятно, являются частными предельными случаями пространств Калаби — Яу. Большое число возможных решений с конца 1970-х и начала 1980-х годов создало проблему, известную под названием «проблема ландшафта», в связи с чем некоторые учёные сомневаются, заслуживает ли теория струн статуса научной.

Несмотря на эти трудности, разработка теории струн стимулировала развитие математических формализмов, в основном — алгебраической и дифференциальной геометрии, топологии, а также позволила глубже понять структуру предшествующих ей теорий квантовой гравитации. Развитие теории струн продолжается, и есть надежда, что недостающие элементы струнных теорий и соответствующие феномены будут найдены в ближайшем будущем, в том числе в результате экспериментов на Большом адронном коллайдере. И всему основа являются  поля – тензорные поля.

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно пре-образующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Термин «тензор» также часто служит сокращением для термина «тензорное поле», изучением которых занимается тензорное исчисление.

Тензор механического напряжения

 

Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу

\scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}{\mathbf  {T}}^{{({\mathbf  {e}}_{1})}}{\mathbf  {T}}^{{({\mathbf  {e}}_{2})}}{\mathbf  {T}}^{{({\mathbf  {e}}_{3})}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{{11}}&\sigma _{{12}}&\sigma _{{13}}\\\sigma _{{21}}&\sigma _{{22}}&\sigma _{{23}}\\\sigma _{{31}}&\sigma _{{32}}&\sigma _{{33}}\end{bmatrix}}

столбцами которой являются силы, действующие на {\mathbf  {e}}_{1}, {\mathbf  {e}}_{2}, и {\mathbf  {e}}_{3}грани куба.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу d\times d\times \cdots \times d, заполненную числами — компонентами тензора (где d — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом. Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.

Перемножить вектора Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается \varepsilon _{{ijk}}. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

 

Изображение символа Леви-Чивиты.

Геометрический смысл

Символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

V=\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора {\vec  {a}}, {\vec  {b}}и {\vec  {c}}

Векторное произведение двух векторов

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы {\vec  {a}}и {\vec  {b}}, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать \varepsilon с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m}, S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Свойства. Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис):

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{{i,j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a_{{i}}b_{{j}}c_{{k}}.

Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

{\vec  {a}}\times {\vec  {b}}=\sum _{{i,j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}{\vec  {e}}^{{\ i}}a^{j}b^{k}={\vec  {c}}, где c_{i}=\sum _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

- его компоненты, а \ {\vec  {e}}^{{\ i}}- векторы базиса.

Смешанное произведение векторов тоже:

\left[{\vec  {a}}{\vec  {b}}{\vec  {c}}\right]=\sum _{{i,j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}.

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше. Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

\sum _{{i,j,k,\dots =1}}^{n}\varepsilon _{{ijk\dots }}\varepsilon ^{{ijk\dots }}=n!

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

\varepsilon _{{ijk\dots }}\varepsilon ^{{pqr\dots }}=\det {\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\\delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}.

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

прямое n-мерное обобщение векторного произведения (n - 1) штук (n-мерных) векторов:

{\vec  {p}}={{\vec  a}\times {\vec  b}\times {\vec  c}\cdots }=\sum _{{i,j,k,m,\ldots =1}}^{n}\varepsilon _{{ijkm\ldots }}{\vec  f}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\cdots ,

где p_{i}=\sum _{{j,k,m,\ldots =1}}^{n}\varepsilon _{{ijkm\ldots }}a^{j}b^{k}c^{m}\cdots - его компоненты, а {\vec  {f}}^{{\ i}}- базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

Безындексная запись (для n измерений

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{n-k}}}}={\frac  {1}{k!}}\eta ^{{j_{1},\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{n-k}}}}

(для произвольного тензора \!\eta , учитывая эйнштейновское правило суммирования).

N-мерный вектор и работа с ним

N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Вектор записывается в виде строки или столбца:

Разновидности векторов:

нулевой вектор —

единичные векторы специального вида —

Условие равенства векторов

Два вектора и равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны т.е.:

Пример: векторы и — равны, потому что

Коллинеарные (параллельные) векторы

Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если A=λ*B, ai=λ*bi, i=1,2,...,n.

λ — некоторое число:

если λ>0, то направления векторов совпадают

если λ<0, то направления противоположны

Пример: векторы и параллельны и их направления совпадают:

λ=2

Действия над векторами

Умножение вектора на число

Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число λ, при этом  все его координаты умножаются на это число:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Пример: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов

Два вектора одинаковой размерности можно сложить, при этом их соответствующие координаты складываются:

Свойства линейных операций:

А + В = В + А

(А + В) + С = А+(В + С)

λ(А + В) = λА + λВ

(λ+ μ)А = λА + μ А

λ(μ А) = (λμ)А

Пример:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется величина, вычисляемая по формуле:

Свойства произведения:

λ(A*B)=λ*A*B

Пример:

Модуль (длина) вектора

Если модуль вектора равен 1 то он называется единичным и обозначается через

Пример:
|a|=√(a12+a22+a32)

 

Угол между векторами

Условие перпендикулярности:A*B=0 или a1*b1+a2*b2+...+anbn

Мини-заключение:

Умножение вектора на число: A=(1,2,3); λ=2; A*λ=(1*2,2*2,3*2)=(2,4,6)

Сложение векторов: A=(1,2,3) B=(1,2,3); A+B=(1+1, 2+2, 3+3)

Скалярное произведение векторов:

Модуль вектора: a=(a1,a2,a3); |a|=√(a12+a22+a32)

Умножение векторов

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + Пример-листинг. Векторное произведение двух векторов:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Линейная алгебра › Скалярное произведение. Векторное произведение.

При умножении следует помнить, что матрицу размерности M x N допустимо умножать только на матрицу размерности N x P (р может быть любым). В результате получается матрица размерности M х P.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой * или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в листинге 7.5.

Листинг. Перемножение матриц:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Линейная алгебра › Умножение

Обратите внимание (нижняя строка листинга 7.5), что попытка перемножить матрицы А и В несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе Mathcad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы с числом столбцов второй матрицы.

Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен в листинге 7.6.

Внимание! Тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому.

Листинг. Умножение вектора и строки:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Линейная алгебра › Умножение

Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину. Символ умножения вводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можно умножать матрицу любой размерности.

 

  

Слева сложение 2-х верхних поверхностей  полей

И сложение (справа)  их результирующих векторов МТ

 

Резюме. Чтобы складывать 4-мерные и большей размерности вектора (как и их перемножение), сначала выполняется в макрокоманде математически, затем  выполняем визуализацию по том методике, что дана в самом начале этого раздела.

Общий результирующий вектор направлен вниз под поверхность