Задачи к экзаменационным билетам (для курсантов спец. «судовождение»)

 

Часть 3. Сферическая геометрия

 

Точка на сфере определяется широтой и долготой

Используя циркуль и линейку (в системе Вектор окружность и отрезок) (на виде на земной шар спереди) задать найти точку на экваторе А(60,0). Используя циркуль и линейку (в системе Вектор окружность и отрезок) (на виде на земной шар спереди), задать точку  B с ее координатами(60,60). Через диалог задания точки (Н.геом -> Точка) задать  точку в восточном полушарии с координатами (40, 125). Через диалог задания точки (Н.геом -> Точка) задать  точку  C  - 40 широты и 110 восточной долготы)

7

 

Резюме. С помощью циркуля и линейки можно найти проекции точек, по ее широте  и долготе, однако задать их глубину (а это возможно только числом) - сложно.  Эти проблемы  в системе Вектор решаются автоматически – точка на сфере задается сферическими координатами, а декартовые  и автоматически отображаются в строке  вверху экрана.

 

    

Курсор подогнать под сотые градуса сложно, для обучения это и необязательно

Для более точного задания координат точки есть специальное окно: Н.геом->Точка->Точка (окно)

 

Определить расстояние от Москвы до Владивостока, зная их координаты Москва (55°45′06″ с. ш. 37°37′04″ в. д.), Владивосток(43°10'26"N 131°57'40"E) . На самом деле нужные десятичные измерения, однако секунды минуты пока отбросим.  МК «Дуга через 2 точки» работает, когда две точки находятся в группе (так случается автоматически, когда точки задаются на сфере курсором), поэтому поступаем следующим образом: Создаем группу (Правка -> Создать группу), в Структуре перетаскиваем обе точки в группу  и запускаем МК № 3   Р2 – дуга через две точки  В результате получаем сообщение длины пути по дуге большого круга (ортодромии) и угол дуги кривой из центра Земли.

     

 

 

         Определить расстояние от Вальпараисо (Чили) до Брисбена.

Вопрос: как шел Федор Конюхов на весельной лодке через Тихий океан между этим портами.  И почему?

 

Определить расстояние между Владивостоком и Сиэтлом  по ортодромии

Сиэтл имеет координаты:  47°36′ с. ш. 122°19′ з. д. (180+180-122 = 180+58) = 238 в.д.

 

    

 

Далее Сиэтл – Москва - полет пошел почти через Северный полюс

Резюме. Получился сферический треугольник почти в 7000 км по сторонам

Определить расстояние от Владивостока до трассы Сиэтл-Москва

Базовой МК нет, есть в библиотеке МК с названием «На сфере расстояние от точки до Большого круга»

 

Ей и воспользуемся

  Длина линии = 6.12297 – расчет длины линии (в масштабе экрана) в диалоге

Задать на сферу карту Земли «Восточное полушарие» командой «Текстура» и по ней уже на сфере вычислить расстояние между Токио и Сиэтлом. По справочником расстояний между портами проверить, какая будет точность вычислению.

Схема решения задачи: 1) Включить Землю, причем сделать ее активной. 2) через МК 3D формы ->  «Восточное полушарие» полученную карту командой Текстура перевести на сферу. Картину после этого выключите. 3) Для того чтобы карта была обращена к нам, поверните (в структуре в «Преобразования» поверните картину вокруг оси y на 45 градусов, чтобы были видны Вальпараисо и Брисбен достаточно 30). Дальше уже известным методами.

               

Официально считается расстояние от Токио до Сиэтла 7712 км. Ошибка менее 1000 км – приемлемо, если учесть, что размер карты подбирали  на глаз мор-ской и курсором щелкали приблизительно.

На карте Восточного полушария с помощью курсора определите расстояние между Вальпараисо и Брисбеном.

 

 

Федор Конюхов не пошел по этому маршруту, а пошел к экватору, что по км в полтора раза длинней, но зато здесь теплей и пассаты дуют вдоль экватора и течение в ту же сторону двигали лодку. Силы Кориолиса еще помогали. Все было рассчитано.

       

Проверить, что твориться на в западной полушарие – вычислить расстояние между Испанией и Бразилией. Через преобразования повернем Землю вокруг оси y на 180 градусов.

 

 

Официально расстояние от Мадрида до Рио-де-Жанейро составляет 8145 км.

Здесь не стыковка в  2000 км. На 2-й карте не стыковка уже меньше - в полтары тысячи км. 

 

Резюме. Имел бы Колумб такие возможности расчета, он бы не ошибся, что берега Америки – это не Индия.  

 

Определить расстояние от Владивостока до Сиэтла по прямой (МК «По малой дуге»)

 

Площадь = 11.5793

Центр = (-1.11797, 2.68123, -4.51331)

Длина линии = 9.72293

 Длина линии больше (см выше) чем по дуге большого круга

 

Определить расстояние между Вальпараисо и Брисбеном по прямой

 

Площадь = 24.8992

Центр = (0.337685, -3.43809, -3.33713)

Длина линии = 12.9042

 

Пройти маршрут от Брисбена p11 до Сиэтла (р12) по локсодромии, задавая начало и конец маршрута с помощью курсора

 

 15. Для курсантов специальности «Судовождение» предлагается следующая задача по высоте светила (широта на сфере Мира) и азимуту (долготе на этой сфере) и углу наклона оси сферы Мира, определить склонение (широту на горизонтно-зенитной сфере) и часовой угол (долготу на этой же сфере). В системе Вектор на базовом уровне (МК Р1 Точка на двух сферах) решается прямая задача (обратная к сформулированной. Поставленную решаем с помощью вспомогательной МК, для которой входные параметры широту и долготу 2-й сферы (сферы Мира) и ее наклон задаем в точке в координатах x,y,z.

Предлагается решить данную задачу с одним из 15 условий. Угол наклона сферы Мира выбрать произвольно 

Вариантные данные: склонение (широта) и часовой угол (долгота):

Fi = 45  - для всех вариантов постоянен

 

if var = 0 Then

                hr = 29 ' широта (склонение – бета)

                dl = 110 ' долгота (часовой угол)

End if

 

if var = 1 Then

                hr = 35  ' широта  (склонение – бета)

                dl = 100 ' долгота (часовой угол)

End if

if var = 2 Then

                hr = 30 ' широта 

                dl = 85 ' долгота

End if

if var = 3 Then

                hr = 20 ' широта 

                dl = 150 ' долгота

End if

if var = 4 Then

                hr = 35 ' широта 

                dl = 70 ' долгота

End if

if var = 5 Then

                hr = 35 ' широта 

                dl = 50 ' долгота

End if

if var = 6 Then

                hr = 10 ' широта 

                dl = 75 ' долгота

End if

if var = 7 Then

                hr = 55 ' широта 

                dl = 130 ' долгота

End if

if var = 8 Then

                hr = 20 ' широта 

                dl = 80 ' долгота

End if

if var = 9 Then

                hr = 20 ' широта 

                dl = 145 ' долгота

End if

if var = 10 Then

                hr = 25 ' широта 

                dl = 80 ' долгота

End if

if var = 11 Then

                hr = 45 ' широта 

                dl = 40 ' долгота

End if

if var = 12 Then

                hr = 60 ' широта 

                dl = 60 ' долгота

End if

if var = 13 Then

                hr = 50 ' широта 

                dl = 45 ' долгота

End if

if var = 14 Then

                hr = 15 ' широта 

                dl = 55 ' долгота

End if

if var = 15 Then

                hr = 25 ' широта 

                dl = 145 ' долгота

End if

 

Возьмем вариант 15

 Широта на сфере мира равна 25

 Долгота 145

 Угол наклона сферы пусть = 30

 

В диалоге помещает эти данные в координаты Точка 

 

 

Запускаем МК Точка по широте, долготе и углу оси Мира если МК у вас ее нет или нет доступа к ней, ее текст можно скопировать в редакторы Блокнот или WordPad с таким же, например, именем сохранить с расширением .vbs

Будут сообщения:

 

Следующее сообщение будет вместе с первоначальной фиксацией точки и ее координат на обеих сферах

Красные координаты -  это дано

Синие – получили.

 

В центре и справа результат на виде спереди и в аксонометрии

 

Можно включить сферу (в структуре ее передвинуть вверх) и изменить цвет с зеленого на голубой. Данные введенные СК2 и данные полученные (СК1 можно увидеть (с точностью курсора) в информационной  строке наверху (см. на рис. ниже), установив курсор на найденную точку А.

Примечание. Получить параллактический угол в диалоге с угол наклона сферы мира в 30 градусов невозможно, так как МК  его построения (как и МК № 1) рассчитана на угол наклона оси Мира 45 градусов.

 

 Возьмем тот вариант 15, угол наклона сферы Мира 45:

 

 Широта на сфере мира равна 25

 Долгота 145

 Угол наклона сферы пусть = 45

Построив точку с ее координатами, теперь можно щелкнув по  полученной точке курсором с помощью МК № 1 проверить  

 

    

 Далее можно построить параллактический треугольник (ПТ) (МК № 5), щелкнув курсором по полученной точке А 

    

 

Результат получается сразу для 3 сфер, однако в структуре ПТ-ки  связанные с Галактикой в структуре в соответствующей гркппе можно отключить

  Задача 16. Построить  сферический треугольник у которого все 2-гранные углы равны по 90  градусов.

Понятно, что точка А будет находится в центре (на сфере).  Базовыми МК решить невозможно. Параллактический треугольник МК № 5  мог бы строить, однако у него по умолчанию углы наклона сфер фиксированы. Делаем отдельную МК, где углы задаем вручную, в частности, на рис. ниже  справа задали по 90 градусов.

      

Чтобы увидеть, что три 2-гранных угла, у которых общие ребра совпадают с осями, равны 90 градусов, можно покрутить картинку. Вопрос: Сколько сферических треугольников на сфере, у которых   двугранные углы  равны 90 град и сколько таких  двугранных углов?   

Задач, связанных со сферой Земли, Небесной сферой Галактикой и т.д.  довольно много как теоретических, так и практических.  Лоция судов, спутников,  космических кораблей  -  связана со сферической геометрией. А в случае многомерности (две сферы и три сферы – это 5-мерное и 7-мерное  пространство), задач бесконечное число и причем интересных и полезных.

 

Задача 17. Используя силы Кориолиса, найти в Тихом Океане лучший маршрут из точки А, используя МК № 7, которая строит множество линий, которые и будут линиями Кориолиса, обеспечивали лучший вариант движения. Выбор здесь за капитаном судно или яхты. Федор Конюхов явно замахнется на пересечение Индийского океана на весельной лодке, чтобы окончательно прогрести веслами весь земной шар. Эти исследования мы продолжим и на старт дадим ему самый оптимальный вариант. А пока курсанты МГУ исследуют этот метод, чтобы дальше применять его в своей будущей морской практике.

 

   

Точка А – через которую может пройти маршрут при движении лодки через Тихий океан, и лини  вокруг нее, испытывающие силы Кориолиса.  Черные линии – вспомогательные.

 

Задача 18. Построить линию пересечения цилиндра со сферой, используя МК № 9. Как это делается см. Сферическая геометрия.

Задача 19. Используя МК № 10 -  Р1 Точка на 3-х сферах для которой входными параметрами являются углы (заданы по умолчанию 45 и 60) наклона  сфер мира и Галактики, широта и долгота первой сферы курсором на сфере. Пусть эти координаты равны  25 и 150.   

Задача 20. Используя МК № 8 Пересечение 2-х линий на сфере  - определить кратчайшее расстояние на небесной сфере между Большой и Малой Медведицами