Начертательная геометрия
4-мерного пространства

 

Лекция 1

МЕТОД  ГИПЕРПРОЕКЦИЙ

Начертательная геометрия занимается изображением пространств и геометрических объектов на плоскость и решением позиционных и метрических задач. В основе моделирования пространств – принята декартовая система координат.

Декартовая система координат как модель любого пространства

При изображении таких моделей применимо следующее определение Польке* для 3-мерного пространства: любые три отрезка проведенные через одну точку (начало системы координат) могут быть приняты за декартовые оси. На плоскости декартовая система координат – это два взаимно перпендикулярных отрезка, которые без труда изображаются как оно есть.  Также можно провести три  отрезка – для 3-мерного пространства; четыре для 4-мерного и т.д.. В этом случае все отрезки (оси) невозможно провести перпендикулярно к друг другу, как это должно быть, потому их проводят произвольно, как это выгодно, вплоть до того, что некоторые отрезки (оси) вырождаются на некоторых чертежах в точку.

 

Рис. 1. Декартовые системы координат 2-мерного, 3-мерного
 и 4-мерного пространств

 

В основе отображения геометрических объектов лежит метод проекций: путем проецирования ее точек на плоскость. И обратная задача: по проекциям восстановления оригинал объекта.

Для отображения на плоскость лежат методы центрального и параллельного ортогонального и косоугольного проецирования. Эти свойства справедливы и для 4-мерного пространства. Однако больший интерес представляет восстановление оригинала по его проекциям. Здесь интерес представляет рассмотрение восстановления не самого оригинала, и проекций (оригиналов) в двух 3-мерных перпендикулярных друг к другу подпространств xyz и xzt. Здесь оказывается к плоскости xy в одну точку можно провести два перпендикуляра, и соответственно обратно: из одной точки можно восстановить два перпендикуляра. В этом случае можно говорить о двойном центральном и параллельном проецировании. Будем рассматривать параллельно в нашем 3-мерно пространстве и 4-мерном.

1.1  Двойное* центральное и параллельное проецирование в 4-мерном пространстве xyzt

Все определения будут действительны из предыдущего параграфа, за исключением того, что все будет двойное, хотя сама проекция точки (объекта) - одна. 

Центрами  проекций точки Axy   в 4-мерном пространстве Oxyzt являются точки Axyz и Axyt  

 

Здесь тоже как бы идет ортогональное проецирование, но уже из 2-х подпространств. В дальнейшем  будем рассматривать ортогональное проецирование и ортогональное воспроецирование (обратно к проецированию).

* Название  геометрических объектов в 4-мерном пространстве, возможно будут уточняться. Однако принадлежность того или иного объекта к объектам в привязке к осям является неизменным.

1.2. Основные свойства параллельного проецирования 4-мерного пространства

В 4-мерном пространстве свойства: однозначности, прямолинейности, принадлежности, параллельности, пропорциональности, конгруэнтности, параллельного переноса, сохраняются. Однако, когда  эти свойства начинаем применять на комплексном чертеже, часто надо говорить «дважды». Например, прямая параллельно плоскости и естественно проецируется на нее в натуральную величину в том случае, если она дважды параллельна ей.

 

 

Также и прямой угол проецируется в натуральную величину. если его  одна из сторон дважды  параллельна плоскости проекций.

Проецирование прямого угла на плоскость в 4-мерно пространстве

 

Для того чтобы получить чертеж, обладающий свойствами обратимости, необходимо иметь, по крайней мере две связанные между собой проекции в двух 3-мерных координатных плоскостях. На ортогональном чертеже, по крайней мере три (из шести) связанные между собой проекции

 

1.3. Пространственная модель (макет) 4-мерного пространства

Для фиксирования положения геометрической фигуры в 4-мерном прост­ранстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям исполь­зуется прямоугольная (декартова) система координат, состоящая из 4-х взаимно-перпендикулярных гиперплоскостей и шести координатных плоскос­тей (рис. 1.5).

Ось x — ось абсцисс, y — ось ор­динат, z — ось аппликат, t – ось гипераппликат.  т.O — начало координат.

Координатные плоскости делят прост­ранство на шестнадцать частей — гипероктантов. Плос­кости xy (Н), xz (V), yz (W) пусть также  называются горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями проекций. Плоскость xt – гиперфронтальная, yt – гиперпрофильная, zt – вторая гиперпрофильная.  

Положение т. А определяется четырьмя координатами: x, y, z, t  (ширина, глубина, высота и гипервысота), .

Точки А¢, А¢¢, А¢¢¢ — горизонтальная, фронтальная, профильная — ортогональные проекции точки. Точки А’’’’ – гиперфронтальная, А’’’’’ – гиперпрофильная, А’’’’’’ (c шестью штрихами) – 2-я гиперпрофильная проекция точки. 

Пространственных модель может быть как в 4-мерном пространстве так и четыре 3-х трехмерных подпространств, которые можно располагать как угодно.

 

Два примера моделей 4-мерного пространства

 

Как уже было сказано, шесть координатных плоскостей  делят 4 мерное пространство на 16 гипер-октантов.

 

                x            y              z            t                            x              y             z               t

I

+

+

+

+

IX

-

+

+

+

II

+

+

-

+

X

-

+

-

+

III

+

+

-

-

XI

-

+

-

-

IV

+

+

+

-

XII

-

+

+

-

V

+

-

+

+

XIII

-

-

+

+

VI

+

-

-

+

XIV

-

-

-

+

VII

+

-

-

-

XV

-

-

-

-

VIII

+

-

+

-

XVI

-

-

+

-

 

Проведем  аналогию от 3-мерного пространства к 4-мерному.

В 3-мероном пространстве  три взаимно перпендикулярные плоскости вместе с положительными и отрицательными  значениями осей образует восемь октантов

 

    

 

 

 

 

Восемь октантов образуют восемь «смежных комнат» в трехмерном пространстве, что в свою очередь куб, в котором находятся 8 комнат; это к тому, как образуется гиперкуб из 16 смежных комнат в 4-мерном пространстве. Каждая комната по отдельности при этом будет иметь 3 измерения. 

Гипер-октанты (обычные наши комнаты), образуемые на положительных и отрицательных направлениях осей x,y,z,t.  
Куб и гиперкуб можно построить и на положительных направлениях осей.

Чтобы «закрыть» куб, у которого три грани лежат в координатных плоскостях, надо каждую сдублировать и сдвинуть в том или направлении той или иной оси на высоту куба. В итоге для куба получим 6 граней.

Чтобы «закрыть» гиперкуб, у которого 6 граней лежат в координатных плоскостях, надо каждую двумерную грань сдублировать и сдвинуть на высоту гиперкуба. В итоге для гиперкуба получим 12 двумерных граней, 16 вершин. Шесть боковых, три сверху и три снизу. И нет никаких: «куб в кубе», как это многие пытаются объяснить гиперкуб. Просто надо «увидеть».

 

 

Из каждой вершины выходить 4-ре ребра: ширина, высота, толщина и 4-й размер по t. Увидеть пространство между такими гранями в 3-мерном пространстве (в частности, смоделировать и на плоскости) довольно сложно, подобно тому, что двумерный человек на линии никак не может увидеть и изобразить 3-мерный куб.

Можно «увидеть» в перспективе заднюю стенку – восемь 2-мерных граней из 12, где видно, что из каждой вершины выходит четыре ребра.

 

Рис. Гиперкуб «в перспективе» без 3-х передних граней

 

Объем гиперкуба равен: V = x*y*z*t.

 

Разнесенный аксонометрический чертеж 4-х координатных гиперплоскостей

Комплексный чертеж координатных трехмерных подпространств (координатных гиперплоскостей) 4-мерного пространства

 

 

1.4. Комплексный чертеж (эпюр) точки
в 4-мерном пространстве

Плоскостная модель получается путем совмещения всех шести координатных плоскостей с плоскостью листа.

Рис. Комплексная плоскостная модель 4-мерного пространства

 

Изображение точки на такой модели будет называться комплексным чертежом (эпюром) точки 4-мерного пространства.

 

Каждая проекция точки определяется двумя координатами Axy, Аxz; Аyz, Аxt, Аyt, А (zt) . Три проекции точки определяют четыре координаты точки. В этом случае говорят, точка задана.

Отсюда:

1) положение точки в 4-мерном пространстве вполне определяется тремя проекциями;

2) по любым трем проекциям точки можно построить остальные ее проекции.

Точка может занимать различные положения — лежать в любом гипероктанте, в любой координатной гиперплоскости и на любой координатной плоскости. Проекционная связь позволяет графически находить третью проекцию точки по трем задан­ным При этом необходимо помнить, что

Axy; Аxz; Аxt – соединяются вертикальной линией.

Axt; Аyt); Аzt, – лежат на горизонтальной линии связи.

На горизонтальной линии связи лежат и проекции Аxz и Аyz.

 

* Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

** Гиперпло́скость — подпространство евклидова с размерностью на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

 

Приложение 1.  Двумерный мир и моделирование в нем 2-3-4-мерных пространств 

 

Для того чтобы представить взаимосвязь 4-мерного мира и 3-мерного, достаточно рассмотреть взаимосвязь 3-мерного и 2 мерного по принципу аналогии. Представьте гипотетического жителя 2-мерного мира. Что видит этот житель, как бы он не ходил вокруг круга, квадрата  он видит в простом случае линию. Если же квадрат прозрачен и ребра у него, имеют разные цвета, он в перспективе  отличит квадрат от треугольника, но все ребра на «планшете-бумаге» (в виде прямой линии) будут лежать на одной вертикальной линии. Это жителям 3-мерного мира видны - круг, квадрат, жителя и все его внутренности. 

И все же как бы смоделировал свое 2-мерное, а затем 3-мерное и 4 мерное пространства?

Он знает уже, что две взаимно-перпендикулярные прямые моделирует его мир.; может быть  параллельное и перспективное проецирование. Ортогонально можно проецировать точки пространства на оси x и y. Все как у нас, только вот вместо листа бумаги у него отрезок прямой линии, и всякие ухищрения: применять цвет, прозрачность линий и т.д. Сделать надпись и тут проблема. Мы же воспользуемся свойствами плоскости и все надписи будем делать на ней.

 

                                                                                                          a)            b)          c)          d)             e)          f)

Рис. пр1.

 

a)  аксонометрия  b) орт-чертеж 2-d пространства,

c)  аксонометрия d), e) - орт-чертеж 3-d пространства

f)  орт-чертеж 4-d пространства.

 

На первом рисунке «изображены» две взаимно перпендикулярные прямые, моделирующие двумерный мир. Ось Ох можно повернуть до совмещения с фронтальной ось Оy, в результате чего получим плоский чертеж двумерного пространства. На этом чертеже по осям можно откладывать натуральные величины координат x и y.

Двумерное существо додумалось, что где-то существует 3-мерный мир, модель которого три взаимно-перпендикулярные прямые, в свою очередь. По теореме Монжа он бы определил: любые три отрезка, выходящие из одной точки, будут аксонометрическими осями трехмерное пространства. Соответственно со своими коэффициентами искажения. Пользоваться математикой 2-мерному существу не запрещено. Он понимает, что ось Оz, перпендикулярна его плоскости, но просто ограниченность возможностей отображения 3-мерного пространства на прямую линию  декартовой модели 3-мерного пространства, заставляет идти его на такие ухищрения. Однако, хотя бы оси Оx, Оу, Оz изображались  без искажения у него есть такая возможность. Он строит дважды, а если надо трижды ортогональные проекции трех координатных плоскостей 3-мерного пространства на своей плоскости проекций -отрезке.

Чтобы смоделировать 4-мерное пространство, ему нужно отобразить  своим способом 4 плоскости (минимально) (рис. пр1, f) или все 6.

Как житель 2-мерного пространства изобразит куб, в своем 2-мерном пространстве? «Квадрат в квадрате», но это явно не так – мы про это знаем. Ему надо поверить, что есть геометрический объект - куб, и согласиться, что изображать он его может только совокупностью 2-мерных (на координатных плоскостях) объектов.

Также и гиперкуб сложно изобразить на плоскости. Хотя по отношению к  двумерному жителю, у нас есть плоскость проекций и тут мы можем что-то хоть «увидеть». Например, что гиперкуб имеет 12 граней. А вот увидеть пространство, ограниченное  8-ю гиперплоскостями сложнее. Однако, оно в 4-мерном пространстве есть.  Смотрите, может, увидите.