Изобразить и вычислить площадь (и центр) замкнутого участка поверхности на сфере. 

Для более точного расчета площади участка на сфере можно воспользоваться  следующим:

Площадь сферического треугольника равна

где углы выражены в радианах.

Углы сферического треугольника обозначают большими буквами , а стороны, противолежащие углам - соответствующими малыми буквами:

Для изображения  замкнутой полилинии (полиповерхности)  на сфере, она разбивается на треугольники (от центра до точек на полилинии), у которых стороны представляются дугами на сфере, через которые задается квадратичная поверхность - сфера.  Поэтому, если нужно, чтобы поверхность изображалась (лежала) на сфере можно ее  задать сечениями (не менее трех ) а потом выполнить команду «Полиповерхность на сферу», подобно команде в системе Вектор: «Полилиния на сферу». В этом случае и ее площадь  будет наиболее точной и изобразиться точно на сфере.

      

 

Как спроецировать поливерхность
на реальную поверхность Земли – геоид.

При помощи спутника картографам удалось измерить высоту рельефа с недостижимой ранее точностью. Так, измерения проводились в диапазоне менее 30 м между двумя соседними точками, что позволило составить трехмерную модель труднодоступных регионов труднодоступных регионов.

Ледники в Гималаях. 

Карта рельефа Земли

Синие области ниже зеленых, желтые и красные выше зеленых. Составлено по данным проекта ASTER, между двумя соседними точками где замеряли высоту меньше 30 м.

 

Нижний рисунок – барельеф растровой карты с отметками
 (через цвет) высот

 

Из-за того, что форма Земли немного сплюснута, а распределение масс не совсем однородно, поверхность Мирового океана, если бы он покрывал всю планету, приняла бы довольно сложную форму. Такую гипотетическую поверхность называют геоидом, и наиболее точные ее измерения сейчас проводит спутник Европейского космического агентства GOCE-B. Для проведения как можно более точных измерений гравитационного поля планеты спутник пришлось вывести на высоту вдвое меньше орбиты МКС – именно таким методом возможно определить форму геоида

Исследователи NASA подчеркивают, что их данные будут доступны всем.

«Барельеф» Австралии, полученный по карте  NASA

 

 

Барельеф Индии, полученный по карте  NASA

 

Карта геоида

Аппарат GOCE летает по самой низкой «тропке» из всех современных научных спутников — всего 254,9 километра над Землёй. Это один из секретов его высокой чувствительности к колебаниям гравитационного поля планеты (иллюстрация AOES Medialab), океанских течений и т.п.

«Гоче» способен определить форму геоида с точностью в 1-2 сантиметра по высоте на 100-километровом отрезке.

Геоид формируется под действием силы тяжести. А она неодинакова в разных районах планеты, и дело не в её вращении, а в неравномерном распределении массы в глубинах земного шара. Соответственно, получая данные о точном уровне морских вод в разных точках планеты (от ряда спутников-высотометров), и сравнивая их с картой геоида, можно получить массу сведений о циркуляции воды в океане, колебаниях в уровне моря, вызванных глобальными переменами климата, определить динамику ледяных покровов Земли и так далее.

На карте геоида Японии самая сильная гравитация  в районах, окрашенных жёлтым цветом, самая слабая — на синих участках. Форма геоида намеренно усиленна — для большей наглядности различия высот умножены в 10 тысяч раз.

GOCE видит отклонения в гравитации с высокой детализацией, что позволяет замечать тектонические разломы, вычислять распределение масс в толщах горных хребтов и наблюдать иные подобные, скрытые от глаз, особенности строения Земли.

Учёные могут замечать движения магмы в глубинах под вулканами или фиксировать особенности в движении и взаимодействии континентальных плит. Участники проекта говорят, что с помощью GOCE уже получили неизвестные ранее данные о глубинах Гималаев, Юго-Восточной Азии, Анд и Антарктики.

«Гравиметрия от GOCE помогает углублять знания о процессах, которые вызывают землетрясения, как например в Японии, которое было вызвано движением тектонических плит под океаном.

 

Так GOCE показал на гравитационной карте границы тектонических плит близ Японии, как раз в том месте, где случилось разрушительное землетрясение (иллюстрация TUM/IAPG).

Составление трехмерной модели планеты требует решения двух задач – определения высот над уровнем моря и установления той отметки, которую в дальнейшем будут считать нулевой высотой. Первая проблема понятна, вторая, наверное, должна быть величиной относительной – в зависимости от решаемых задач и местности, где решается та или иная задача. Принято брать эту относительно уровня моря (хотя океан сам имеет различные радиусы до центра Земли). Москва, к примеру, находится на высоте 200 м над уровнем моря.

Радиолокационное зондирование Земли

Матрица высот рельефа местности строится по информации объектов карты, имеющих абсолютную высоту или 3D-метрику.

По матрице высот можно сформировать 3D-метрику заданных объектов, а также выполнить автоматическое создание изолиний (горизонталей). В ГИС «Карта 2011» имеется возможность построения поверхности уклонов в виде матрицы качеств, элементы которой содержат среднее или максимальное значение уклона в градусах между соседними ячейками матрицы высот.

С использованием матрицы высот можно построить растр качеств, отображающий направления склонов рельефа местности. ГИС «Карта 2011» позволяет выполнять сравнение, объединение и нарезку матриц высот.

 

TIN-модель рельефа представляет собой многогранную поверхность - нерегулярную сеть треугольников, вершинами которых являются исходные опорные точки, а также точки метрики структурных линий (хребты, линии водотока, автомагистрали и т.п.) и площадей заполнения постоянным значением (водные поверхности с постоянной высотой). Исходные точки для построения TIN-модели могут располагаться с переменной плотностью в зависимости от изменений формы моделируемой поверхности, что позволяет создать эффективную и точную модель.

Плоское отображение TIN-модели рельефа выполняется с использованием палитры матрицы высот. В схематичном виде TIN-модель отображается рёбрами составляющих её треугольников, при этом простые рёбра, рёбра структурных линий и площадей заполнения имеют разные цвета.

TIN-модель применяется в задачах анализа рельефа местности - построение профилей и зон видимости, вычисление длины и площади объектов с учётом рельефа, расчёт объёмов земляных работ, моделирование зон затопления, определение направлений склонов, формирование трёхмерной карты местности и других.

Алгоритм построение сети должно удовлетворять двум условиям: внутри окружности, описанной вокруг любого из треугольников не должно содержаться съемочных точек;  ребра треугольников не должны пересекать структурных линий.

Процесс разбиения поверхности на треугольники называется триангуляцией. В современных программных продуктах для выполнения триангуляции используют алгоритм, предложенный российским ученым Б.Н. Делоне. Сущность алгоритма триангуляции заключается в следующем.

В произвольное место горизонтальной проекции поверхности помещают окружность малого радиуса таким образом, чтобы ни одна съемочная точка не попала внутрь окружности. Затем увеличивают радиус окружности, не передвигая ее центра до тех пор, пока она не наткнется на некоторые съемочные точки. Далее, сохраняя то условие, чтобы точки лежали на границе окружности, увеличивают ее радиус и одновременно отодвигают ее центр. Этот процесс продолжают до тех пор, пока окружность не коснется, как минимум, трех точек. Дальнейшее увеличение радиуса становится невозможным, а найденные три точки образуют первый треугольник. Взяв две точки полученного треугольника, строят новую окружность на образовавшемся ребре и увеличивают ее радиус одновременно с перемещением центра в сторону, противоположную третьей вершине треугольника, до тех пор, пока окружность не коснется следующей точки. Таким путем образуется еще один треугольник. Процесс повторяют до тех пор, пока все точки поверхности не будут охвачены треугольной сетью.

Поверхности внутри каждого треугольника, вершинами которого являются точки с известными координатами x, y, z представляет собой плоскость. Высотная отметка z любой точки с координатами x, y в плане, находящейся внутри треугольника определяется по формуле:

z=Ax + By + C,

где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, построенной по трем точкам, образующих треугольник.

Еще некоторые сведения

Треугольники по контурам класса «Рельеф» рассчитываются программой «в момент запроса» и нигде не хранятся. Можно, например, включить в показ в окне стереопары слой «горизонтали – по контурам класса «Рельеф». Тогда после добавления нового контура, относящегося к классу «Рельеф», и перерисовки окна вид горизонталей изменится. Можно экспортировать рассчитанные программой треугольники в формат DXF. Для импорта свободной модели рельефа в «ЦФС-Талка», можно задать стороны образующих поверхность треугольников в формате DXF, как набор отрезков. Далее импортировать эти отрезки в отдельный код классификатора и затем включить только этот код в выборку контуров класса «Рельеф».

Регулярная ЦМР

Регулярную ЦМР (Цифровую Модель Рельефа) можно представлять себе как бесконечную решетку, параллельную осям координат, к узлам которой приписаны значения высоты. Значения в узлах регулярной ЦМР могут быть значащими (содержащими значение высоты) и не значащими или пустыми (т.е. не содержащими никакой высоты). Расстояния между соседними узлами по Х и Y называются шагом. Регулярная ЦМР не обязана быть прямоугольной и может быть заполнена в наборе произвольных областей.

По ЦМР можно рассчитать фотоплан, провести сглаживание рельефа с указанным допуском для получения более гладких горизонталей, сделать отдельные участки плоскими или приподнять/опустить их на заданную величину, вычислить площадь поверхности внутри области, рассчитать объем внутри указанной области (холма или глубокого карьера), провести интерполяцию внутри области по граничным значениям и т.д.

Резюме. Нужны данные по форме Земли от NASA.