Упражнение 4.5. Сечения конуса плоскостью.

Возможны 4 основных случая (см. рисунки).

 

 

5-й случай плоскость, проходящая через вершину пересекает конус по двум прямым, есть 6-й случай, когда плоскость, касаясь образующей, пересекается с ним по прямой  и, если уж на то пошло есть и 7-й  случай – пересекается в точке – в вершине конуса. Плоскость пересекаться с основанием конуса не может, так как конус считается поверхностью бесконечной и потому основания у конической поверхности нет.

Ньютон говорил: Если некоему пробному телу придавать в поле тяготения Солнца разные начальные скорости в различных направлениях, то орбита, по которой будет дальше двигаться тело, окажется одной из четырёх форм: окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой.

Эти кривые называются коническими сечениями, потому что, рассекая конус плоскостью под разными углами, мы всегда получим одну из названных кривых. Для того же чтобы получилась окружность или парабола, нужно плоскость сечения ориентировать определённым образом. Можно сказать, что окружность — это идеально круглый эллипс, а парабола — эллипс, вытянутый в бесконечность. Итак, есть эллипсы — по ним движутся планеты, их спутники, может, ещё что-то. Есть гиперболы — дороги случайных встреч, орбиты «одноразового использования»: прилетело что-нибудь откуда-то из межзвёздья к Солнцу, обернулось и улетело обратно.

Какие же пути выбирают кометы? Со времён Эдмунда Галлея, кстати (сначала капитана дальнего плавания, а потом астронома – ловца комет, ученого, лично знакомого с Ньютоном),  это оставалось загадкой. При первой встрече с Исааком Ньтоном он спросил:

— Сэр, по каким орбитам движутся кометы? —  спросил Галлей. 

— По эллипсам, близким к параболам, — ответил Ньютон и положил на стол чертёж. 
— Каковы же периоды их обраще­ния? 
— А это ещё предстоит узнать, — сказал Ньютон.

И после кропотливого труда наблюдений за кометами – удача. Одно небесное тело по расчетам каждые 75— 76 лет возвращается к Земле. Так была открыта первая периодическая комета — комета Галлея. Галлей предсказал её новое появление в 1758 г., что и произошло. Это был триумф закона тяготения и начало строгого «паспортного режима» для комет. Описано уже около 2000 комет. За 300 лет после Ньютона вычислены орбиты более 700 из них. Большинство комет движется по эллипсам, умеренно или сильно вытянутым. Самым коротким маршрутом ходит комета Энке — от орбиты Меркурия до Юпитера и обратно за 3,3 года.

Орбиты планет — эллипсы, близкие к окружностям. Орбиты комет — вытянутые эллипсы, почти параболы.
Изменение кометной орбиты под действием тяготения Юпитера. Как видно из рисунка, измениться может не только размер орбиты, но и направление движения кометы.   Планеты движутся в плоскости тонкого диска в одном направлении. Пути комет — это настоящий клубок орбит, ориентированных в пространстве без порядка. Кометы ходят по ним одни — против, другие — по часовой стрелке (обратное движение). Кометы, регулярно пересекая дороги больших планет, меняют орбиты. Обычно изменения незначительны, как у кометы Галлея, но если странница пролетит мимо гиганта ближе чем в полумиллиарде километров, величина и направление её орбиты могут измениться до неузнаваемости.
   Особенно сильно влияние Юпитера. Набрасывая гравитационное лассо, он «одомашнивает» кометы, переводит их на короткие орбиты — от Солнца до Юпитера и обратно. Сегодня в табуне Юпитера около сотни хвостов. По десятку комет держат Сатурн и Нептун. Три кометы пасёт Уран. Есть ещё подозрительное стадо, гуляющее до границы 50—60 а. е. Но гиганты слепы, как Полифем. Порой и собственную комету прогонит навсегда, а иногда поддаст пробегающей...

Отсюда http://skystars.pp.ru/cometsmove.html

Тайны конуса еще не все раскрыты

 Фокальные свойства эллипсов и гипербол. В случае β = α существует единственный вписанный в конус шар K, касающийся плоскости π (http://www.pm298.ru/oprkonich6.php). Однако если β  α, то можно построить два таких шара, которые теперь обозначим через K1 и K2; точки их касания с плоскостью π (являющиеся фокусами соответствующего конического сечения) обозначим через F1 и F2, а окружности, по которым шары касаются конуса, через S1 и S2 (см. Рис. 11, а, б).

И конечно тайны 3-мерного конуса в 4-мерном пространстве таят в себе неисчерпаемые тайны

 

Однако вернемся к нашим  конусам. 

 

 

 

Инвариантная  часть для всех вариантов – прямой круговой конус:

Секущая плоскость - фронтально-проецирующая задается произвольно следующим образом:

1-5 – вариант  параллельно оси конуса (в сечении гипербола – одна ветвь)

6-10 – вариант  параллельно образующей (боковая прямая-очерк на фронтальной плоскости) конуса (в сечении парабола).

11-15 – произвольно - не параллельно оси или образующей (в сечении эллипс)

Алгоритм – используем метод пересечения прямой (образующих)  с секущей плоскостью.

Если в сечении эллипс, то  для него определяются 4 точки на концах малого и большого диаметров и по ним строится эллипс.

 

1-5 – вариант  (М-N – след  секущей плоскости), линия пересечения гипербола.

       

 

6-10 – вариант  (М-N – след  секущей плоскости) линия пересечения парабола

 

                    

Справа аксонометрия

 

 

Здесь показан еще  вид справа

 

11-15 – произвольное секущая плоскость: не параллельная оси конуса и образующей (в сечении получается эллипс).

 

        

 

Резюме. В нашем ближнем космосе летает более 2000 комет, некоторые могут быть и залетные.

Поэтому надо следить за ними  - почаще за телескопом сидеть, моделировать их движение.

Еще про кометы (http://www.zateevo.ru/?section=page&action=edit&alias=sobit240408_3)

 Кометы – самые протяженные объекты Солнечной системы. Слово «комета» в переводе с греческого означает «волосатая», «длинноволосая». При сближении с Солнцем комета принимает эффектный вид. Под действием солнечного тепла комета так нагревается, что газ и пыль улетают с ее поверхности, образуя яркий хвост. Невозможно не заметить на небе зрелища столь редкостного, страшнее любого затмения.

24 апреля 1066 год.

Обнаружена комета Галлея!

 

 


Появление большинства комет непредсказуемо.
 
С древних времен люди наблюдали кометы. В средние века кометы считались предвестниками войн и эпидемий. Вторжение норманнов в Южную Англию в 1066 году связывали с появлением в небе кометы Галлея. С ее появлением в небе  ассоциировалось и падение Константинополя в 1456 году. До открытия закона всемирного тяготения Ньютоном, астрономы не могли объяснить странное поведение комет – их внезапные появления и исчезновения. Исследование комет связано с именем друга Ньютона – Эдмунда Галлея.


Путешествуя по Европе в 1680 году, Галлей два раза наблюдал яркую комету. Первый раз она приближалась к Солнцу, а второй раз удалялась от него. В 1682 году Галлей оборудовал свою обсерваторию в пригороде Лондона. Здесь в августе он наблюдает  новую яркую комету, за которой следит вся Европа. Самая известная комета получила имя ученого Галлея.


Орбиты большинства комет – сильно вытянутые эллипсы.


В 1702 году Эдмунд Галлей доказал, что кометы, наблюдавшиеся в 1531, 1607 и 1682 годах, имеют одну и ту же орбиту, то есть, это одна и та же комета. А в 1705 году впервые предсказал появление этой кометы на 1758 год. Комета действительно вернулась, обессмертив не дожившего открывателя, и была обнаружена в Рождество 25 декабря 1758 года.

 

Комета Галлея движется по эллиптической орбите в направлении,

противоположном направлению вращения планет.

 

 

В 1910 году комета Галлея максимально приблизилась к Земле. Оказывается, кометы возвращаются! Периодичность прохождения вокруг Солнца кометы Галлея, в наиболее близкой к Земле точке своей орбиты, составляет 76 лет.  Ученые утверждают, что в следующий раз комета Галлея пройдет у орбиты Земли в 2061 году. Проследить за ней с Земли с помощью мощных телескопов будет возможно уже с 2023 года.


Сейчас исследователи нашли дополнительное доказательство того, что эта комета существовала за тысячи лет до рождения Галлея.


Исследователи ежегодно открывают новые кометы. В среднем их открывается около 20-ти в год. За всю историю человечества наблюдалось около двух тысяч появлений комет.