КВАТЕРНИОНЫ  В ЗАДАЧАХ МОРЕХОДНОЙ АСТРОНОМИИ

 

В.П. Болотов, С.В. Коркишко, Т. Саранжав

 

ФГОУ ВПО «Морской государственный университет им. адм. Г.И. Невельского», г. Владивосток, Россия

 

АННОТАЦИЯ

Рассматривается возможность применения кватернионов в задачах астрономии и морской навигации. Реализация их в системе «Вектор» уже сейчас позволяют управлять  сложными «сценами» с множеством вращений, вычисляя при этом самые разнообразные навигационные параметры.

 


Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре, система гиперкомплексных чисел, предложенная Гамильтоном в 1843 году), предоставляют математические положения вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют избежать проблем «шарнирного клина» (Gimbal lock) и «шарнирного замка». Считается, что алгоритмы на основе использования кватернионов позволяют корректно решать задачи из серии three-stage gyro (трехстепенный гироскоп), в которых при использовании обычных алгоритмов возникает блокировка вращения. Кватернионы также используются в робототехнике, молекулярной динамике, в компьютерной графике, навигации. Два последних случая нам для нас особенно интересны.

Рассматривая возможные направления из полюса как разные расстояния от полюса (то есть широты) как разные углы вращения, то получим пространство вращений. Сфера является двухмерной поверхностью, и её можно представлять как часть гиперсферы, подобно тому как окружность является частью сферы, если представим вращение вокруг осей в плоскостях x и y. При этом на гиперсфере угол вращения до экватора равен 180° (а не 90°); до Южного полюса (с Северного) - 360° (а не 180°). Кватернионы можно определить как формальную сумму

где

 — вещественные числа,

*                    мнимые единицы со следующим свойством:

*                     i2 = j2 = k2 = ijk = − 1

При перераспределении географических координат (высота светила- азимут или широта-долгота,) в небесные (склонение-часовой угол или широта, долгота) имеем 4 параметра. И таких пар дают в сочетании по два из четырех –шесть разных задач. Общим для пары сфер (земной и сферы мира, сферы мира и эклиптической, сферы мира и зодиакальной, зодиакальной и галактической и т.д.) является параллактический треугольник (ПТ).

Существует 24 целых единичных кватерниона. Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — кубооктаэдра. Считается, чтобы решить сложную задачу, надо выйти в размерность высшего порядка. Для описания нашего мира математики теории суперструн вышли уже в 26-мерное пространство, и это не предел. Существует мнение, что для 99,7% населения нашей планеты, хотя бы приблизительное понимание теории струн, недоступно в принципе.

Основа кватернионов: 4-мерное пространство и комплексные числа. Авторами статьи Болотовым В.П. и Коркишко С.В. были внедрены в систему «Вектор» машинно-ориентированный подход к реализации элементарной геометрии на базе комплексных чисел.

Чтобы решить задачу о моделировании облицовочных плит для «Бурана» и судовых обводов, профессору Болотову В.П. потребовалось «выйти» в 7-мерное пространство. За участие в проектировании обводов десантной подводной лодки авторы и соавторы С.И.Рогачев, Ю.М.Аксенов, С.Б. Белов были удостоены медалей ВДНХ.

В Дублине стоит памятник c надписью. «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов», -  которая говорит о значимости кватернионов. Интерес к задаче: найти вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы, получил практическую ценность. Так Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.

Пример. Объект последовательно вращают вокруг Z (на небольшой угол), Y, X осей, и угол вращения вокруг оси Y равен 90 градусам. В этом случае вращение вокруг оси Z происходит первым и поэтому корректно. Вращение вокруг оси Y тоже совершается корректно. Однако после вращения вокруг оси Y на 90 градусов ось X отображается на ось Z, возникают проблемы, решение которых стало возможно при использовании кватернионов.

«Складывание рамок» или «шарнирный клин» (Gimbal lock) относится к области гироскопии и инерциальной навигации. В области гироскопов он описывает событие, которое может происходить со свободным гироскопом в двухосном кардановом подвесе в том случае, когда внутренняя рамка гироскопа повернется на 90 градусов относительно наружной. При таком расположении гироскоп теряет свое основное свойство сохранять направление в инерциальном пространстве.

С позиций теории кватернионов между пространством вращения и кватернионами может быть установлена связь. Так, моделируя гиперсферу вращений в 4-D, можно увидеть ее проекции в 3-D.

Евклидовы координаты w, x, y, z,

где w² + x² + y² + z² = 1.

представляют вращение вокруг осей (x, y, z) на угол

Допустим, w, x, y, z — координаты вращения. Тогда кватернион q можно определить как

где  — единичный вектор. Таким образом, произведение * вращает вектор  на угол α вокруг оси .

При решении задач начертательной геометрии часто используется методы замены плоскостей проекций и вращений. Главное здесь - указать направление следующей сцены, соответственно задав ось вращения. Построив дискретно серию таких сцен, а затем аппроксимируя и интерполируя, можно получить плавное изменение сцен небесной сферы из прошлого, в настоящее и будущее. А это прямое применение в моделировании движения в любой сфере деятельности, начиная от движения кораблей на море и в космосе до путешествий по зодиакальному поясу, научно предсказывая, когда будет то или иное затмение, вспышка новой звезды, когда и где пролетит астероид. 

Пример. Анимация - метод системы «Вектор.

 

Animate 0, 1, False, 1., 2., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.1

Входные параметры  по порядку:  1 - номер направляющей линии; 2 - число циклов; 3 - "Обратное"; 4 - скорость; 5 - масштаб; 6 - угол X от; 7 - угол X до; 8 - угол Y от; 9 - угол Y до; 10 - угол Z от;  11 - угол Z до; 12 - шаг по t.

Аналогично выполняется анимация непосредственно  в диалоге.

В анимации требуются самые сложные вращения. Однако, один раз используя сложный математический аппарат (кватернионы), дальше можно работать только с входящими параметрами, траекторией движения и подаваемым множество сцен той или иной ситуации. По данной методике построена анимация в известной системе «Планета Земля», пути движения на автомобиле в системе ГЛОНАСС/GPS.

Пример. Входящие параметры: xn,yn,zn, xp,yp,zp, dph

Переменные : rp, rj, rc, pc, mu, nx, ny, nz, nr, xr, yr, zr, xi, yi, zi, xj, yj, zj, ip, jp, theta, psi, phi, php

Выходящие : x,y,z

 

Гиперсфера как две сферы
в нашем пространстве

Задача решается как при помощи алгоритма нормализованного 3D поворота, так и с помощью системы гиперкомплексных чисел кватернионов, которые обеспечивают корректный пересчёт углов вращения (собственного вращения, прецессии и нутации); это известная в мореходной астрономии пара сфер: земная сфера и небесная, которые вместе представляют гиперсферу. Здесь, как и в комплексном представлении сферы, имеем два входных параметра: явных и два выходных – «мнимых». В том и другом случае присутствует общий для всех сфер фронтальный главный меридиан, а использование параллактического (сферического треугольника), одна из дуг которого лежит на фронтальном меридиане с вершинами на полюсах сфер, обеспечивает решение шести задач пары сфер.

 

Есть задачи, для решения которых требуется уже 4-мерная сфера в 5-мерном пространстве; например, три параметра на входе и три на выходе. К таким задачам относятся  определения координат движения Луны вокруг Земли и Солнца, определение координат годового движения по зодиакальному поясу и суточному Земли; определение координат вокруг движения  Земли и Солнца  вокруг галактической оси; определение координат великого годового движения по зодиакальному поясу и   т.д.

Пример движения Земли в течение астрологической эры. Здесь присутствует общий для всех гиперсфер фронтальный главный гипермеридиан; использование гиперпараллактического (гиперсферического) треугольника, у которого одна из сторон лежит на фронтальном гипермеридиане с вершинами на полюсах гиперсфер. В этом случае возможны решения задач в сочетаниях (три параметра задать, три вычислить). А это прямой выход в галактические  многомерные пространства.

Пример. Сферический треугольник на сферах Земли и неба  в системе «Вектор».

Точка C – светило. Чтобы перераспределить его координаты из  одной сферы в другую (подобно тому, как в декартовой системе координат по двум проекциям строится третья), зенитно-горизонтную сферу (ось n-z) в сферу мира (ось мира Pn-Ps), достаточно построить сферический треугольник от точки светила к двум полюсам сфер. В системе «Вектор» задача решается с помощью метода (минипрограммы), так и в диалоге, например, по заданным, например, склонению и часовому углу на сфере мира отыскивается искомая точка. Полидугами строится сферический треугольник, автоматически получаются все шесть его параметров. Результаты вычислений автоматически формируются в файл сценария.

 

Рисунки сферического треугольника полученные в системе «Вектор»

Прецессия.  Явление, при котором момент импульса тела меняет своё направление в пространстве под действием момента внешней силы. Пример - движение волчка. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.

Нутация. Колебательные движения оси прецессирующего тела. Скорость прецессии и амплитуда нутации связаны со скоростью вращения тела (изменяя параметры прецессии и нутации в случае, если есть возможность приложить силу к оси вращающегося тела, можно изменить скорость его вращения).

Прецессия небесных тел. Подобное движение совершает ось вращения Земли в преддверии равноденствий. Колебание оси вращения Земли влечёт изменение положения звёзд относительно экваториальной системы координат. В частности, через некоторое время Полярная звезда перестанет быть ближайшей к Северному полюсу мира яркой звездой.

Великий год. Цикл прецессии составляет 25920 солнечных лет. При этом одна астрологическая эра равна 1/12 цикла и составляет 2160 солнечных лет. Точки равноденствия движутся вдоль зодиака со скоростью 1 градус в 71,5 года. За 2150 солнечных лет точки равноденствия проходят один знак зодиака. Все двенадцать знаков они пройдут за 25920 лет. Этот отрезок времени называется великим годом. Транзит точек равноденствия через один знак называется великим месяцем, или эпохой.

В течение последних двадцати столетий человечество жило в эпоху Рыб; С 2000 года - эпоха Водолея.

Эпоха Майя. Согласно учению майя, 21 декабря 2012 года завершается 5125 - летний цикл «Пятого Солнца». В этот день, по учению майя, произойдет редкое астрономическое событие, которое случается раз в 25920 лет: во время зимнего солнцестояния «Солнце пройдет через ось центра Галактики».

Галактический год. В 2012 году начнётся новый галактический год длительностью в 25920 солнечных лет. Галактические часы будут в нулевой точке, и начнется новый прецессионный цикл.

Звёздный год - период обращения Земли вокруг Солнца относительно звезд, или промежуток времени, за который Солнце возвращается в ту же точку неба относительно звезд. Звёздный год равен 365,2564 средним солнечным суткам, на 20 минут длиннее, чем обычный тропический год.

Метод в объектно-ориентированном программировании — это функция, принадлежащая какому-то классу или объекту. Метод состоит из некоторого количества операторов для выполнения какого-то действия, имеет набор входных аргументов и возвращаемые значения. В системе «Вектор» создано более 170 методов. Методы написаны на С++, однако пользователь может их писать МК на vbs или js.

 

 


 


Литература

1. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. — М.: МЦНМО, 2002. — 40 с.

2. Коркишко С.В., Болотов В.П.  Машинно-ориентированный подход к реализации элементарной геометрии. Сб. Геометрия САПР. МГУ, Владивосток, 2005. С. 43-46.

3. Болотов В.П., Филиппов П.В. Применение методов начертательной геометрии многомерного пространства к вопросам конструирования поверхностей. Сб. Геометрия САПР. МГУ, Владивосток, 2005. С. 4-7.

4. Болотов В.П. Начертательная геометрия многомерного пространства. ДВГМА. 2004,  400 с. 

5. Болотов В.П. Геометрия САПР. МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2005. 368 с.

6. Седых В.И., Болотов В.П., Роньшин Ю.И. «Вектор»: диалог и методы. МГУ им. адм. Г.И.Невельского. Владивосток, 2005. 268 с.

7. Богданов В.И., Болотов В.П. Спутниковый бортовой категоризатор состояния Мирового океана. // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Спутниковые системы связи и навигации», Красноярск, 1997.

8. Богданов В.И., Болотов В.П., Маренников C.И. Вычислитель для распознавания оптических изобретений. // Сборник трудов 1Х Международной Вавиловской конференции, Новосибирск 1997.

9. Болотов В.П., Болотова В.П., Роньшин Ю.И.  4-D геометрия – реализация в системе «Вектор» и скриптах. МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2010. 228 с.

10. Болотов В.П. По местам сил Земли. МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2011. 280 с.