Сферическая  геометрия на практике

В системе Вектор проложить  из Москвы проложить маршрут  полета воздушного шара до Владивостока  в том  (на восток) и другом (на запад) направлениях.

Такие задачи  решаются  заданием точек старта и финиша. Точки могут быть заданы  сферическим координатами числами, так курсором прямо на виртуальной карте-глобусе Земли. Внутренняя кухня решение задачи отдается макрокомандам. 

 

МК 5.3 строит Большую (Б.) дугу  через две точки (P2 – point 2 точки)

Точки моно задать числами сферических координат в диалоговом окне

 

Слева сферические координаты Москва,
справа - сферические координаты Владивостока

 

Координаты Москвы (55°45′06″ с. ш. 37°37′04″ в. д.), Владивосток(43°10'26"N 131°57'40"E). МК «Дуга через 2 точки» работает, когда две точки находятся в группе (так случается автоматически, когда точки задаются на сфере курсором). Здесь же поступаем следующим образом: Создаем группу (Правка -> Создать группу), в Структуре перетаскиваем обе точки в группу  и запускаем МК5.3 Р2 – дуга через две точки  В результате получаем сообщение 

длины пути по дуге большого круга (ортодромии) и угол дуги кривой из центра Земли.

     

 

 

 

Сфера и сферическая геометрия

 

Задание точек начала и конца пути курсором в диалоге. Для наглядности на сферу поместим  карту восточного полушария (МК 4.19 – вызов карт)

 

Команда Поверхности – Текстура запросит какую карту взять на поверхность (должна быть активной – по ней стукнуть мышкой два раза).

 

Чтобы задать точки на сфере в диалоге, надо включить курсор (пиктограмма со стрелкой)  отслеживая бегущие  географические координаты  (на данной нанесенной карте примерно задаем) и, выполняя МК 5.34, получим искомый маршрут  и сообщение.

 

Задание в диалоге лвух точек на сфере и визуализация искомого маршрута

 

Таким же образом можно воспользоваться другими из 10 базовых МК.

Однако возникла задача другого порядка. До Владивостока надо оказывается лететь по дуге большого круга в обратную сторону. Такая  оказалось не реализована в системе Вектор. По этой причине в свое время не все 30 задач по вариантом были решены в качестве примеров. Сейчас в связи сокращением часов по изучению начертательной, особенно опять же с ориентацией задач изучение Арктики и здесь возможной например прокладки маршрута с Аляски через Северный полюс до Антарктиды, эта задача стала актуальной.  Есть также пожелание число решаемых задач  в базовом варианте расширить. После этого написать новый учебник-монографию «Сферическая геометрия к проблемам изучения Арктики».  Второй фундаментальный труд в связи с планируемым полетом Федора Конюхова, авторы (соавторы Ю.Роньшин, Ф.Конюхов) пишут: «Небесная сфера  в свете полета ФК в  ноосфере Вернадского-Вайно» - актуальной в управление страной (шутка – пусть здесь голова болит кому это надо). 

 

 

Упражнение. Построить Теоретический чертеж сферы, поместить его на формата А4, подписать главные линии в сете с понятий линий в сферической геометрии и начертательной геометрии

 

 

 

Задание гондолы воздушного шара и его теоретический чертеж здесь

Вопросы?

Какие образуются линии на поверхности сферы при сечении их плоскостям, параллельных координатным.

Ответ

Уровня (параллели  горизонтальные линии) - ватерлинии

Параллели фронтальной плоскости (фронтальные линии) - батоксы

Профильные линии  (параллели профильной плоскости)  - шпангоуты

Какая линя на сфере экватор, меридиан в общем случае, Гринвич, перемены дат, фронтальный очерк, профильный очерк,  форштевень, ахтерштевень.

Где находится   северный и южный полюса, географический нуль на сфере земли.  Сколько меридианов имеют истинную величину  на комплексном чертеже.

 

 

Практическое занятие 2

 

Пространственно временной континуум через команды системы Вектор «Сферическая геометрия «

 

При полете воздушного шара  Федора Конюхова города от места старта Туимского (Хакасия) провала до места подводного города Р'льех   в Тихом океане, расположенного на меридиане перемены  дат богиня Маат предложила Федору Конюхову  от Туиского провала в обратную сторону на запад. В системе Вектор решение этой задачи см. здесь

 

Сфе́ра (др.-греч. σφαῖρα — мяч, шар[1]) — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Сфера является поверхностью вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара. Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, также из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Поэтому тела сферической формы встречаются в природе, например, маленькие капли воды при свободном падении приобретают сферическую форму именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения.

Объём цилиндра, объём вписанной в него сферы, касающейся обоих его оснований, и объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3 : 2 : 1[2].

«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти правильных многогранников, их вписанных и описанных сфер.

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. У древних греков возникло представление о вращающейся хрустальной сфере, к которой прикреплены звёзды. Также в среде древнегреческих учёных появились космологические модели со сферической Землёй и прикреплёнными к вращающимся сферам из эфира планетами. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (лат. De revolutionibus orbium coelestium).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью»[3][4]. Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (лат.

 Mysterium Cosmographicum), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами, являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений)[5]. Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге показал, что движение комет, в частности, Большой кометы 1577 года, несовместимо с существованием твердых небесных сфер[6]. Как удобная математическая модель, осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности сферы

S =   4 π r 2 = π d 2 {\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}=\pi d^{2}}

Объём шара, ограниченного сферой

V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Площадь сегмента сферы

S = 2 π r H {\displaystyle S=2\pi rH}

(сегмент сферы — полоса между экватором и широтой, находящейся на высоте H над экватором).

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

( xx 0 ) 2 + ( yy 0 ) 2 + ( zz 0 ) 2 = R 2 , {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}

где ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}  — координаты центра сферы, R {\displaystyle R}  — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} :

{ x = x 0 + R sinθ cosϕ , y = y 0 + R sinθ sinϕ , z = z 0 + R cosθ , {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}

где θ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} и ϕ [ 0 , 2 π ) . {\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/.

Геометрия на сфере

Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

L = R arccos( cosθ 1 cosθ 2 + sinθ 1 sinθ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 − ϕ 2 ) ) . {\displaystyle L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

Однако, если угол θ {\displaystyle \theta } задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

L = R arccos( sinθ 1 sinθ 2 + cosθ 1 cosθ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 − ϕ 2 ) ) . {\displaystyle L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}

В этом случае θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} и θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} называются широтами, а ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} и ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} долготами.

n-мерная сфера

Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

i = 1 n ( x i − a i ) 2 = r 2 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},}

где ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},...,a_{n})}  — центр сферы, а r {\displaystyle r}  — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

 

 

Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия

 

 

Читайте также здесь

 

Материал из WIKI